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Álgebra lineal Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.4.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.5
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.6.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.7.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8
Multiplica .
Paso 1.4.1.2.8.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.9
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.4.3.3
Suma y .
Paso 1.4.3.4
Suma y .
Paso 1.4.3.5
Suma y .
Paso 1.4.3.6
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
Paso 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Paso 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Paso 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Paso 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.9
Add the terms together.
Paso 1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4
Evalúa .
Paso 1.5.4.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.4.2
Simplifica el determinante.
Paso 1.5.4.2.1
Simplifica cada término.
Paso 1.5.4.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Paso 1.5.4.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Paso 1.5.4.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.2
Resta de .
Paso 1.5.4.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.2
Suma y .
Paso 1.5.4.2.3
Mueve .
Paso 1.5.4.2.4
Reordena y .
Paso 1.5.5
Simplifica el determinante.
Paso 1.5.5.1
Combina los términos opuestos en .
Paso 1.5.5.1.1
Suma y .
Paso 1.5.5.1.2
Suma y .
Paso 1.5.5.2
Expande mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
Paso 1.5.5.3
Simplifica cada término.
Paso 1.5.5.3.1
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.3
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.4
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 1.5.5.3.4.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.4.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.4.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5.5.3.4.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.5.5.3.4.3
Suma y .
Paso 1.5.5.3.5
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.5.3.6
Multiplica por sumando los exponentes.
Paso 1.5.5.3.6.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.6.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.7
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.8
Multiplica por .
Paso 1.5.5.4
Suma y .
Paso 1.5.5.5
Resta de .
Paso 1.5.5.6
Mueve .
Paso 1.5.5.7
Mueve .
Paso 1.5.5.8
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
Paso 1.7.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Paso 1.7.1.1
Factoriza mediante la prueba de raíces racionales.
Paso 1.7.1.1.1
Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma , donde es un factor de la constante y es un factor del coeficiente principal.
Paso 1.7.1.1.2
Obtén todas las combinaciones de . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.
Paso 1.7.1.1.3
Sustituye y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a , por lo que es una raíz del polinomio.
Paso 1.7.1.1.3.1
Sustituye en el polinomio.
Paso 1.7.1.1.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.7.1.1.3.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.1.3.5
Multiplica por .
Paso 1.7.1.1.3.6
Suma y .
Paso 1.7.1.1.3.7
Multiplica por .
Paso 1.7.1.1.3.8
Resta de .
Paso 1.7.1.1.3.9
Suma y .
Paso 1.7.1.1.4
Como es una raíz conocida, divide el polinomio por para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.
Paso 1.7.1.1.5
Divide por .
Paso 1.7.1.1.5.1
Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de .
- | - | + | - | + |
Paso 1.7.1.1.5.2
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
- | |||||||||||
- | - | + | - | + |
Paso 1.7.1.1.5.3
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
- | + |
Paso 1.7.1.1.5.4
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - |
Paso 1.7.1.1.5.5
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ |
Paso 1.7.1.1.5.6
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Paso 1.7.1.1.5.7
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Paso 1.7.1.1.5.8
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Paso 1.7.1.1.5.9
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
Paso 1.7.1.1.5.10
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- |
Paso 1.7.1.1.5.11
Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Paso 1.7.1.1.5.12
Divide el término de mayor orden en el dividendo por el término de mayor orden en el divisor .
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Paso 1.7.1.1.5.13
Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Paso 1.7.1.1.5.14
La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en .
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
Paso 1.7.1.1.5.15
Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
Paso 1.7.1.1.5.16
Como el resto es , la respuesta final es el cociente.
Paso 1.7.1.1.6
Escribe como un conjunto de factores.
Paso 1.7.1.2
Factoriza por agrupación.
Paso 1.7.1.2.1
Factoriza por agrupación.
Paso 1.7.1.2.1.1
Para un polinomio de la forma , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es y cuya suma es .
Paso 1.7.1.2.1.1.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.2.1.1.2
Reescribe como más
Paso 1.7.1.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.7.1.2.1.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
Paso 1.7.1.2.1.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
Paso 1.7.1.2.1.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
Paso 1.7.1.2.1.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, .
Paso 1.7.1.2.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.7.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.7.3
Establece igual a y resuelve .
Paso 1.7.3.1
Establece igual a .
Paso 1.7.3.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.4
Establece igual a y resuelve .
Paso 1.7.4.1
Establece igual a .
Paso 1.7.4.2
Resuelve en .
Paso 1.7.4.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.4.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Paso 1.7.4.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 1.7.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 1.7.4.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 1.7.4.2.2.2.2
Divide por .
Paso 1.7.4.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 1.7.4.2.2.3.1
Divide por .
Paso 1.7.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
Paso 3.2.1
Resta los elementos correspondientes.
Paso 3.2.2
Simplify each element.
Paso 3.2.2.1
Resta de .
Paso 3.2.2.2
Resta de .
Paso 3.2.2.3
Resta de .
Paso 3.2.2.4
Resta de .
Paso 3.2.2.5
Resta de .
Paso 3.2.2.6
Resta de .
Paso 3.2.2.7
Resta de .
Paso 3.2.2.8
Resta de .
Paso 3.2.2.9
Resta de .
Paso 3.3
Find the null space when .
Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 3.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.4.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.5.2
Simplifica .
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 4.2
Simplifica.
Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
Paso 4.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.5
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.6
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.7
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.8
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.9
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 4.2.3
Simplify each element.
Paso 4.2.3.1
Resta de .
Paso 4.2.3.2
Suma y .
Paso 4.2.3.3
Suma y .
Paso 4.2.3.4
Suma y .
Paso 4.2.3.5
Resta de .
Paso 4.2.3.6
Suma y .
Paso 4.2.3.7
Suma y .
Paso 4.2.3.8
Suma y .
Paso 4.2.3.9
Resta de .
Paso 4.3
Find the null space when .
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Paso 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 4.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.5.2
Simplifica .
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.